Tipp 6

Rotationsmatrix aufstellen

Für das Aufstellen der Rotationsmatrix für die Drehung eines Objekts/Punkts mit den ursprünglichen Koordinaten \( \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}   \right) \) um einen Winkel \(\alpha\) gehen wir analog zum Aufstellen der Skalierungsmatrix vor. Zur Erinnerung der Rotationsalgorithmus:

\( \vec{v'} =  \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x \cdot \cos(\alpha) + y \cdot (-\sin(\alpha)) \\ x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha) \end{array} \right) \)

Hier können wir sofort die Regeln der Matrizenmultiplikation "rückwärts" anwenden:

\(  \left( \begin{array}{c} x \cdot \cos(\alpha) + y \cdot (-\sin(\alpha)) \\ x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \)

Insgesamt können wir also das Ergebnis einer Rotation als Multiplikation einer Rotationsmatrix \(R = \left( \begin{array}{c} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{array} \right) \) mit dem ursprünglichen Vektor \( \vec{v} = \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}   \right) \) berechnen:

 \( \vec{v'} = R \cdot \vec{v} =\left( \begin{array}{c} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}   \right) \)

(Denken Sie auch hier daran, dass mit dieser Operation nur in Bezug auf den Koordinatenursprung rotiert wird.)