Tipp 5

Skalierungsmatrix aufstellen

Für die Skalierung eines Objekts/Punkts mit den ursprünglichen Koordinaten \( \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}   \right) \) in \(x\)- und \(y\)-Richtung  wurde folgender Algorithmus definiert:

\( \left( \begin{array}{} x' \\ y' \end{array}   \right) = \left( \begin{array}{} s_x \cdot x \\ s_y \cdot y \end{array}   \right) \)

Wir erweitern diesen Term nun um die jeweils andere Koordinate:

\(  \left( \begin{array}{} s_x \cdot x \\ s_y \cdot y \end{array}   \right) =  \left( \begin{array}{} s_x \cdot x + 0 \cdot y \\ 0 \cdot x + s_y \cdot y \end{array}   \right)\)

Wenn wir nun die Regeln der Matrizenmultiplikation "rückwärts" anwenden, ergibt sich:

\(  \left( \begin{array}{} s_x \cdot x + 0 \cdot y \\ 0 \cdot x + s_y \cdot y \end{array}   \right) = \left( \begin{array}{} s_x & 0 \\ 0 & s_y \\ \end{array}   \right)  \cdot \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}   \right)\)

Insgesamt können wir also das Ergebnis einer Skalierung als Multiplikation einer Skalierungsmatrix \(S = \left( \begin{array}{} s_x & 0 \\ 0 & s_y \\ \end{array}   \right) \) mit dem ursprünglichen Vektor \( \vec{v} = \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}   \right) \) berechnen:

 \( \vec{v'} = S \cdot \vec{v} = \left( \begin{array}{} s_x & 0 \\ 0 & s_y \\ \end{array}   \right) \cdot \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}   \right) \)

(Denken Sie auch hier daran, dass mit dieser Operation nur in Bezug auf den Koordinatenursprung skaliert wird.)