Tipp 4

Algorithmen mit Hilfe von Matrizen anwenden

Bisher haben Sie wahrscheinlich nur mit Vektoren mit 2, 3 oder mehr Zeilen gearbeitet. Daher müssen wir nun eine weitere Art mathematische Daten geordnet darzustellen einführen: Die Matrix (Mehrzahl: Matrizen). Eine Matrix ist - vereinfacht gesagt - eine Sammlung von Werten in mehreren Dimensionen. Dazu "erweitern" wir die bekannten Vektoren also um zusätzliche Spalten. Im einfachsten Fall, einer \(2 \times 2\)-Matrix sieht das so aus:

\(M=\left( \begin{array}{} a & b \\ c & d \\ \end{array}   \right) \)

Eine Matrix ist also eine Generalisierung eines Vektors (umgekehrt formuliert: Ein Vektor ist ein Spezialfall einer Matrix mit nur einer Spalte).
Die einzelnen Werte oder Felder einer Matrix nennt man Elemente.

Für das Rechnen mit Matrizen gibt es - wie in der Vektorrechnung - bestimmte Rechenregeln. Eine davon, für die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor, sehen Sie hier: Die Matrix \(M=\left( \begin{array}{} a & b \\ c & d \\ \end{array}   \right) \) soll mit dem Vektor \( \vec{v} = \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}   \right) \) multipliziert werden:

\(M \cdot \vec{v} = \left( \begin{array}{} a & b \\ c & d \\ \end{array}   \right) \cdot \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}   \right) \)

Diese Multiplikation wird gemäß dem folgenden Algorithmus berechnet:

\(M \cdot \vec{v} = \left( \begin{array}{} a & b \\ c & d \\ \end{array}   \right) \cdot \left( \begin{array}{} x \\ y \end{array}   \right) = \left( \begin{array}{} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{array}   \right) \)

Vielleicht fallen Ihnen 3 Dinge auf:

Erstens:

Diese Rechenoperation erinnert an das Skalarprodukt.

Zweitens:

Das Ergebnis ist wiederum ein Vektor.

Drittens:

Damit diese Rechenoperation funktionieren kann, muss die Anzahl der Spalten der ersten (linken) Matrix der Anzahl der Zeilen der zweiten (rechten) Matrix entsprechen.
Das Ergebnis hat dann die Zeilenanzahl der ersten und die Spaltenanzahl der zweiten Matrix (in unserem Fall ein Vektor).
(Unter anderem) aus diesem Grund ist die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ, die beiden Matrizen lassen sich also nicht einfach vertauschen.

Diese und weitere Rechenregeln für die Matrizenrechnung finden Sie tiefer erklärt im Fachinhaltskurs.

Wozu überhaupt das Ganze? Ein Vorteil der Matrizenrechnung: Wie Sie vielleicht bereits gesehen haben, lassen sich mit Hilfe der Matrizenrechnung gleichartige Rechenoperationen mit großen Datenmengen schnell berechnen und übersichtlich dokumentieren - insbesondere, wenn mit geeigneten Datenverarbeitungssystemen gearbeitet wird. Im Bereich der analytischen Geometrie lassen sich so beispielsweise komplexe Operationen auf alle Koordinaten eines Vektors gleichzeitig anwenden, und es muss nicht jede Koordinate einzeln berechnet werden.

Sehen Sie sich nun die Rechenvorschrift für die Multiplikation von Matrix und Vektor noch einmal genauer an und vergleichen Sie diese Operation mit den Algorithmen zur Skalierung und Rotation von Objekten.

Versuchen Sie diese Algorithmen mit Hilfe der Matrizenrechnung zu vereinfachen. Dazu müssen Sie den Skalierungs- und den Rotationsalgorithmus jeweils geeignet in einer Matrix zusammenfassen und diese dann mit dem Ortsvektor des gewünschten Punkts multiplizieren.

Anmerkung: In Geogebra werden Matrizen mit Hilfe von geschachtelten geschweiften Klammern eingegeben. Um die oben dargestellte Matrix \(M\) in Geogebra einzugeben, geben Sie also folgenden Befehl ein:
M = {{a,b},{c,d}}