Tipp 3

Algorithmus für die Rotation aufstellen

Um die Koordinaten der gedrehten Punkte \(P_n'\) beim Drehen eines Objekts (welches aus einzelnen Punkten besteht) um den Winkel \(\alpha\) zu bestimmen, ist es hilfreich, zunächst die beiden Einheitsvektoren \( \vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \) und \( \vec{v}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \) unter der Berücksichtigung der Trigonometrie zu betrachten.

Bei einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung \(O(0|0) \) mit dem Drehwinkel \(\alpha\) wird der Einheitsvektor \( \vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \) auf den Vektor \( \vec{u'}=\left( \begin{array}{c} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{array} \right) \) abgebildet:

Der zweite Einheitsvektor \( \vec{v}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \) wird bei einer Drehung um \(O\) gegen den Uhrzeigersinn auf den Vektor \( \vec{v'}=\left( \begin{array}{c} -\sin(\alpha) \\ \cos(\alpha) \end{array} \right) \) abgebildet:

Ein beliebiger Vektor \( \vec{x} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = x \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) + y \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \) wird bei einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn also auf den folgenden Vektor abgebildet:
\( \vec{x'} = x \cdot \left( \begin{array}{c} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{array} \right) + y \cdot \left( \begin{array}{c} -\sin(\alpha) \\ \cos(\alpha) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x \cdot \cos(\alpha) + y \cdot (-\sin(\alpha)) \\ x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha) \end{array} \right) \).

Wenn nun ein Punkt \(P_n\) rotiert werden soll, kann einfach dessen Ortsvektor \( \overrightarrow{OP_n}\) mit Hilfe dieses Algorithmus rotiert werden.
Wichtig: Auch hier gilt, dass diese Rotation immer um den Ursprung \(O\) stattfindet. Soll um einen anderen Punkt rotiert werden, bitte diesen Tipp beachten.