Tipp 4 - Lagemaße bestimmen

Berechnung des arithmetischen Mittels

Das arithmetische Mittel ist ein spezieller Mittelwert (von vielen) einer Häufigkeitsverteilung – allerdings der wohl bekannteste, weshalb es oft synonym mit dem Begriff „Mittelwert“ oder „Durchschnitt“ verwendet wird.

Für die Berechnung des arithmetischen Mittels \( \overline{x} \) werden alle in der Erhebung (Vollerhebung oder Stichprobe) vorkommenden Merkmalsausprägungen \(x_1\) bis \(x_m\) zunächst mit deren Häufigkeit (relativ \(h(x)\) oder absolut \(H(x)\)) multipliziert und dann addiert.
Bei der Verwendung von absoluten Häufigkeiten muss das Ergebnis noch durch den Umfang der Erhebung \(n\) geteilt werden.

\( \overline{x} = h(x_1) \cdot x_1+ h(x_2)\cdot x_2 + ... + h(x_m) \cdot x_m\)

oder

\( \overline{x} = \dfrac{H(x_1)\cdot x_1 + H(x_2)\cdot x_2 + ... + H(x_m) \cdot x_m}{n}\)

mit:

• \( \overline{x} \): Arithmetisches Mittel
• \(x_i\): Merkmalsausprägungen 1 bis \(m\)
• \(h(x_i)\): relative Häufigkeit von \(x_i\)
• \(H(x_i)\): absolute Häufigkeit von \(x_i\)
• \(m, n\): Umfang der Erhebung

Berechnung des Median

Der Median \(\tilde{x}\) ist ein spezieller Mittelwert (von vielen) einer Häufigkeitsverteilung, der sich von dem, was im allgemeinen Sprachgebrauch als „Mittelwert“ oder „Durchschnitt“ bezeichnet wird (arithmetisches Mittel \(\overline{x}\)), unterscheidet.

Voraussetzung für die Bestimmung des Medians ist die Sortierung der Daten der Urliste in einer (aufsteigenden) Reihenfolge, dadurch erhält man eine geordnete Liste aller erfassten Merkmalsausprägungen.

Der Median ist nun der Wert der Merkmalsausprägung, die genau „in der Mitte“ der geordneten Liste steht – die Ausprägungen in der unteren Hälfte der Liste sind also kleiner oder gleich dem Median, die Ausprägungen in der oberen Hälfte der Liste sind größer oder gleich dem Median.
Bei einer ungeraden Anzahl von Merkmalsausprägungen ist der Median genau der Wert in der „Mitte“ (also die Gesamtzahl \(n\) geteilt durch 2, aufgerundet). Bei einer geraden Anzahl ist der Median der Durchschnittswert der beiden Ausprägungen „oberhalb“ und „unterhalb“ der Mitte:

\( \tilde{x} = x_{ \left( \frac{n+1}{n} \right) }\) (bei ungeraden \(n\))

oder

\( \tilde{x} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_{ \left( \frac{n}{2} \right) } + x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } \right) \) (bei geraden \(n\))

mit:

• \( \tilde{x}\): Median
• \( x_i\): \(i\)-te Merkmalsausprägung nach Sortierung
• \(n\): Umfang der Erhebung