Tipp 6C - Lage der Oberfläche

\( I.\, \, a_1n_1 + a_2n_2 + a_3n_3 = 0 \, | \cdot b_1 \\ II.\, b_1n_1 + b_2n_2 + b_3n_3 = 0 \, | \cdot a_1\)

\( I. \, \, a_1b_1n_1 + a_2b_1n_2 + a_3b_1n_3 = 0 \, |  :b_1 \\ II. \, a_1b_1n_1 + a_1b_2n_2 + a_1b_3n_3 = 0 \, | II-I\)

\( I. \, \, a_1n_1 + a_2n_2 + a_3n_3 = 0  \\ II. \, (a_1b_2-a_2b_1) \cdot n_2 + (a_1b_3-a_3b_1) \cdot n_3 = 0 \)

\( I. \, \, n_1 = \dfrac{-a_2n_2-a_3n_3}{a_1}  \\ II. \, n_2= \dfrac{(a_3b_1-a_1b_3)\cdot n_3}{a_1b_2-a_2b_1} \)

Man erkennt, dass \(n_1\) und \(n_2\) von \(n_3\) abhängen. Dies liegt daran, dass das Gleichungssystem unterbestimmt ist (3 Unbekannte, 2 Gleichungen). Eine der Unbekannten kann nun frei gewählt werden. Daher setzt man z.B.
\(n_3=a_1b_2-a_2b_1\)

Daraus ergibt sich:
\(II. \, n_2=a_3b_1-a_1b_3\)
\(I. \, \, n_1=\dfrac{-a_2(a_3b_1-a_1b_3)-a_3(a_1b_2-a_2b_1)}{a_1}=...=a_2b_3-a_3b_2\)

Der gesuchte Vektor \( \vec{n} \) hat also die Koordinaten:
\( \vec{n} = \left(\begin{array}{r} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{array}\right) \)

Man nennt diesen Vektor, der senkrecht auf einer Fläche bzw. Ebene steht, Normalenvektor. Die soeben hergeleitete Rechenoperation nennt man Vektor- oder Kreuzprodukt.

Zusammengefasst: Der Normalenvektor, also der Vektor, der auf einer Oberfläche senkrecht steht, kann mit Hilfe des Vektor- oder Kreuzprodukts berechnet werden.

Definition des Vektor-/Kreuzprodukts:
\( \vec{a} \times \vec{b} =\left(\begin{array}{r} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{array}\right) \)

Das Ergebnis der Vektor-/Kreuzmultiplikation ist (im Gegensatz zum Skalarprodukt) ebenfalls wieder ein Vektor.
Dieser Vektor hat unter anderem die Eigenschaft, dass er senkrecht auf den beiden ursprünglichen Vektoren steht. Wenn beide ursprünglichen Vektoren innerhalb einer Ebene liegen, definiert der Ergebnisvektor ebenfalls eindeutig die Ausrichtung dieser Ebene im Raum.

Der Normalenvektor kann nun verwendet werden, um die Ausrichtung einer einzelnen Oberfläche Ihres Objekts mathematisch zu beschreiben - und damit bei der Überprüfung der Sichtbarkeit helfen.